MÉTODO DE GAUSS

¿EN QUÉ CONSISTE EL MÉTODO DE GAUSS?

Consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de forma que este sea escalonado

EJEMPLO 1 :

°Ponemos como primera ecuación la que tenga el como coeficiente de x: 1 ó -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas.

°Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:

E'₂ = E₂ − 3E₁

°Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x.

E'₃ = E₃ − 5E₁

°Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y.

E''₃ = E'₃ − 2E'₂

°Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

° Encontrar las soluciones.

                         z = 1

− y + 4 · (1) = −2     y = 6

x + (6) −(1) = 1        x = −4

EJEMPLO 2: 

 

 EJEMPLO 3 :

°En nuestro ejemplo, eliminamos x de la segunda ecuación sumando 3/2 veces la primera ecuación a la segunda y después sumamos la primera ecuación a la tercera. El resultado es:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rrrcr}2x&+y&-z&=&8\\&{\frac {1}{2}}y&+{\frac {1}{2}}z&=&1\\&2y&+z&=&5\end{array}}\right.}$

°Ahora eliminamos y de la primera ecuación sumando -2 veces la segunda ecuación a la primera, y sumamos -4 veces la segunda ecuación a la tercera para eliminar y.

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rrrcr}2x&&-2z&=&6\\&{\frac {1}{2}}y&+{\frac {1}{2}}z&=&1\\&&-z&=&1\end{array}}\right.}$

°Finalmente eliminamos z de la primera ecuación sumando -2 veces la tercera ecuación a la primera, y sumando 1/2 veces la tercera ecuación a la segunda para eliminar z.

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rrrcr}2x&&&=&4\\&{\frac {1}{2}}y&&=&{\frac {3}{2}}\\&&-z&=&1\end{array}}\right.}$

°Despejando, podemos ver las soluciones:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rrrcr}x&&&=&2\\&y&&=&3\\&&z&=&-1\end{array}}\right.}$

°Para clarificar los pasos, se trabaja con la matriz aumentada. Podemos ver los 3 pasos en su notación matricial:

Primero:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrrr}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]}$

Después,

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrrr}2&0&0&4\\0&1/2&0&3/2\\0&0&-1&1\end{array}}\right]}$

Por último.

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrrr}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]}$

°Si el sistema fuera incompatible, entonces nos encontraríamos con una fila como esta:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc}0&0&0&a\\\end{array}}\right]}$

°Que representa la ecuación: 

${\displaystyle 0x+0y+0z=a}$, donde a ≠ 0. Es decir, ${\displaystyle 0=a}$, lo que supone una contradicción y, por tanto, no tiene solución.

TE FACILITAMOS ESTE VÍDEO: 

•  LIBRO VIRTUAL : https://books.google.com.pe/books?id=dgn3sKGyhfkC&pg=PA247&dq=sistema+de+ecuaciones+con+metodo+de+cramer+y+gauss&hl=es-419&sa=X&ved=0ahUKEwibxrrh69TeAhULpFkKHTjhBR4Q6AEILTAB#v=onepage&q=sistema%20de%20ecuaciones%20con%20metodo%20de%20cramer%20y%20gauss&f=false

• https://es.wikipedia.org/wiki/Eliminaci%C3%B3n_de_Gauss-Jordan