APRENDIENDO MÁS SOBRE SISTEMA DE ECUACIONES: MÉTODO CRAMER O REGLA DE CRAMER

¿EN QUÉ CONSISTE EL MÉTODO DE CRAMER ?

Consiste en buscar los valores solución a un sistema de ecuaciones por medio del determinante de una matriz. También se le llama Regla de Cramer y se cumplen dos condiciones:

El sistema tiene el mismo número de incógnitas que de ecuaciones.
El determinante de la matriz de los coeficientes es diferente de cero.

EJEMPLO1:

5x – 2y = – 2

– 3x + 7y = – 22

°Veamos si se cumplen las tres condiciones:

Tenemos dos incógnitas y dos ecuaciones.
El determinante de los coeficientes es distinto de cero:
Las ecuaciones están preparadas como se exige.

°Considerando que:

5x – 2y = – 2 → a1x + b1y = k1

– 3x + 7y = – 22 → a2x + b2y = k2

°Entonces:

°Por lo tanto, x = – 2 e y = – 4; si los sustituimos en cualquiera de las ecuaciones, comprobaremos que se cumple la igualdad:

5(-2) – (-4) = – 2

– 10 + 8 = – 2

– 2 = – 2

°Y

– 3(-2) + 7(-4) = – 22

6 – 28 = – 22

EJEMPLO 2:

°Sistema de 2x2:

Dado

3x+1y=9\,

2x+3y=13\,

°Que matricialmente es:

{\begin{bmatrix}3&1\\2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}9\\13\end{bmatrix}}

°x e y pueden ser resueltos usando la regla de Cramer

x={\frac {\begin{vmatrix}9&1\\13&3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&1\\2&3\end{vmatrix}}}={9\cdot 3-1\cdot 13 \over 3\cdot 3-1\cdot 2}=2

y={\frac {\begin{vmatrix}3&9\\2&13\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&1\\2&3\end{vmatrix}}}={3\cdot 13-9\cdot 2 \over 3\cdot 3-1\cdot 2}=3

EJEMPLO 3:

sistema 3x3

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 3x+2y-z=12 \\ x-y+4z=19 \\ 5x-3y+z=8 \\ \end{array} \right.$

°Para encontrar el determinante general, lo hacemos de la siguiente manera, es importante tener conocimiento de las determinantes

$\displaystyle D=\left| \begin{matrix} 3 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 4 \\ 5 & -3 & 1 \\ \end{matrix} \right|=3\left| \begin{matrix} -1 & 4 \\ -3 & 1 \\ \end{matrix} \right|-2\left| \begin{matrix} 1 & 4 \\ 5 & 1 \\ \end{matrix} \right|-1\left| \begin{matrix} 1 & -1 \\ 5 & -3 \\ \end{matrix} \right|$

°Por lo que:

$\displaystyle 3\left[ (-1)(1)-(4)(-3) \right]-2\left[ (1)(1)-(4)(5) \right]-1\left[ (1)(-3)-(-1)(5) \right]$

°Así que

$\displaystyle 3(-1+12)-2(1-20)-1(-3+5)=3(11)-2(-19)-1(2)=69$

°Nuestro determinante equivale a 69.

La solución para “x”.

$\displaystyle x=\frac{\left| \begin{matrix} 12 & 2 & -1 \\ 19 & -1 & 4 \\ 8 & -3 & 1 \\ \end{matrix} \right|=12\left| \begin{matrix} -1 & 4 \\ -3 & 1 \\ \end{matrix} \right|-2\left| \begin{matrix} 19 & 4 \\ 8 & 1 \\ \end{matrix} \right|-1\left| \begin{matrix} 19 & -1 \\ 8 & -3 \\ \end{matrix} \right|}{D}$

°Luego tenemos que:

$\displaystyle x=\frac{12\left[ (-1)(1)-(4)(-3) \right]-2\left[ (19)(1)-(4)(8) \right]-1\left[ (19)(-3)-(-1)(8) \right]}{D}$

°Así que:

$\displaystyle x=\frac{12(-1+12)-2(19-32)-1(-57+8)}{D}$

°Luego:

$\displaystyle x=\frac{12(11)-2(-13)-1(-49)}{69}$

°Finalmente:

$\displaystyle x=\frac{207}{69}=3$

x = 3

°Ahora veamos:

La solución para “y”.

$\displaystyle y=\frac{\left| \begin{matrix} 3 & 12 & -1 \\ 1 & 19 & 4 \\ 5 & 8 & 1 \\ \end{matrix} \right|=3\left| \begin{matrix} 19 & 4 \\ 8 & 1 \\ \end{matrix} \right|-12\left| \begin{matrix} 1 & 4 \\ 5 & 1 \\ \end{matrix} \right|-1\left| \begin{matrix} 1 & 19 \\ 5 & 8 \\ \end{matrix} \right|}{D}$

°Con esto obtenemos el proceso para encontrar a “y”:

$\displaystyle y=\frac{3\left[ (19)(1)-(4)(8) \right]-12\left[ (1)(1)-(4)(5) \right]-1\left[ (1)(8)-(19)(5) \right]}{D}$

°Así que:

$\displaystyle y=\frac{3(19-32)-12(1-20)-1(8-95)}{D}$

$\displaystyle y=\frac{3(-13)-12(-19)-1(-87)}{69}$

°Finalmente obtenemos que:

$\displaystyle y=\frac{276}{69}=4$

y = 4

°Ahora veamos la solución que tenemos para “z”

Para “z”

$\displaystyle z=\frac{\left| \begin{matrix} 3 & 2 & 12 \\ 1 & -1 & 19 \\ 5 & -3 & 8 \\ \end{matrix} \right|=3\left| \begin{matrix} -1 & 19 \\ -3 & 8 \\ \end{matrix} \right|-2\left| \begin{matrix} 1 & 19 \\ 5 & 8 \\ \end{matrix} \right|+12\left| \begin{matrix} 1 & -1 \\ 5 & -3 \\ \end{matrix} \right|}{D}$