MÉTODO CRAMER O REGLA DE CRAMER

¿EN QUÉ CONSISTE EL MÉTODO DE CRAMER ?

Consiste en buscar los valores solución a un sistema de ecuaciones por medio del determinante de una matriz. También se le llama Regla de Cramer y se cumplen dos condiciones:

• El sistema tiene el mismo número de incógnitas que de ecuaciones.
• El determinante de la matriz de los coeficientes es diferente de cero.

             EJEMPLO1:

5x – 2y = – 2

– 3x + 7y = – 22

°Veamos si se cumplen las tres condiciones:

•  Tenemos dos incógnitas y dos ecuaciones.
• El determinante de los coeficientes es distinto de cero:
• Las ecuaciones están preparadas como se exige.

°Considerando que:

5x – 2y = – 2          →     a1x + b1y = k1

– 3x + 7y = – 22     →     a2x + b2y = k2

°Entonces:

°Por lo tanto, x = – 2 e y = – 4; si los sustituimos en cualquiera de las ecuaciones, comprobaremos que se cumple la igualdad:

5(-2) – (-4) = – 2

– 10 + 8 = – 2

– 2 = – 2

   

°Y

– 3(-2) + 7(-4) = – 22

6 – 28 = – 22

EJEMPLO 2:

 °Sistema de 2x2:

Dado

${\displaystyle 3x+1y=9\,}$

${\displaystyle 2x+3y=13\,}$

°Que matricialmente es:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&1\\2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}9\\13\end{bmatrix}}}$

°x e y pueden ser resueltos usando la regla de Cramer

${\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}9&1\\13&3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&1\\2&3\end{vmatrix}}}={9\cdot 3-1\cdot 13 \over 3\cdot 3-1\cdot 2}=2}$

${\displaystyle y={\frac {\begin{vmatrix}3&9\\2&13\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&1\\2&3\end{vmatrix}}}={3\cdot 13-9\cdot 2 \over 3\cdot 3-1\cdot 2}=3}$

EJEMPLO 3:

                                                sistema 3x3

 

°Para encontrar el determinante general, lo hacemos de la siguiente manera, es importante tener conocimiento de las determinantes 

°Por lo que:

°Así que

°Nuestro determinante equivale a 69.

La solución para “x”.

°Luego tenemos que:

°Así que:

°Luego:

°Finalmente:

x = 3

°Ahora veamos:

La solución para “y”.

°Con esto obtenemos el proceso para encontrar a “y”:

°Así que:

°Finalmente obtenemos que:

y = 4

°Ahora veamos la solución que tenemos para “z”

Para “z”

°Desarrollando las determinantes:

°Así que:

°Por lo que:

z = 5

°Y con esto podemos resolver un sistema de ecuaciones lineales de 3×3, en este ejemplo 

x =3

 y = 4

z =5.

TE FACILITAMOS ESTE VÍDEO :

• https://www.sangakoo.com/es/temas/metodo-de-cramer
• https://laplacianos.com/regla-de-cramer/

MÉTODO DE GAUSS

¿EN QUÉ CONSISTE EL MÉTODO DE GAUSS?

Consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de forma que este sea escalonado

EJEMPLO 1 :

°Ponemos como primera ecuación la que tenga el como coeficiente de x: 1 ó -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas.

°Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:

E'₂ = E₂ − 3E₁

°Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x.

E'₃ = E₃ − 5E₁

°Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y.

E''₃ = E'₃ − 2E'₂

°Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

° Encontrar las soluciones.

                         z = 1

− y + 4 · (1) = −2     y = 6

x + (6) −(1) = 1        x = −4

EJEMPLO 2: 

 

 EJEMPLO 3 :

°En nuestro ejemplo, eliminamos x de la segunda ecuación sumando 3/2 veces la primera ecuación a la segunda y después sumamos la primera ecuación a la tercera. El resultado es:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rrrcr}2x&+y&-z&=&8\\&{\frac {1}{2}}y&+{\frac {1}{2}}z&=&1\\&2y&+z&=&5\end{array}}\right.}$

°Ahora eliminamos y de la primera ecuación sumando -2 veces la segunda ecuación a la primera, y sumamos -4 veces la segunda ecuación a la tercera para eliminar y.

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rrrcr}2x&&-2z&=&6\\&{\frac {1}{2}}y&+{\frac {1}{2}}z&=&1\\&&-z&=&1\end{array}}\right.}$

°Finalmente eliminamos z de la primera ecuación sumando -2 veces la tercera ecuación a la primera, y sumando 1/2 veces la tercera ecuación a la segunda para eliminar z.

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rrrcr}2x&&&=&4\\&{\frac {1}{2}}y&&=&{\frac {3}{2}}\\&&-z&=&1\end{array}}\right.}$

°Despejando, podemos ver las soluciones:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rrrcr}x&&&=&2\\&y&&=&3\\&&z&=&-1\end{array}}\right.}$

°Para clarificar los pasos, se trabaja con la matriz aumentada. Podemos ver los 3 pasos en su notación matricial:

Primero:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrrr}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]}$

Después,

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrrr}2&0&0&4\\0&1/2&0&3/2\\0&0&-1&1\end{array}}\right]}$

Por último.

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrrr}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]}$

°Si el sistema fuera incompatible, entonces nos encontraríamos con una fila como esta:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc}0&0&0&a\\\end{array}}\right]}$

°Que representa la ecuación: 

${\displaystyle 0x+0y+0z=a}$, donde a ≠ 0. Es decir, ${\displaystyle 0=a}$, lo que supone una contradicción y, por tanto, no tiene solución.

TE FACILITAMOS ESTE VÍDEO: 

•  LIBRO VIRTUAL : https://books.google.com.pe/books?id=dgn3sKGyhfkC&pg=PA247&dq=sistema+de+ecuaciones+con+metodo+de+cramer+y+gauss&hl=es-419&sa=X&ved=0ahUKEwibxrrh69TeAhULpFkKHTjhBR4Q6AEILTAB#v=onepage&q=sistema%20de%20ecuaciones%20con%20metodo%20de%20cramer%20y%20gauss&f=false

• https://es.wikipedia.org/wiki/Eliminaci%C3%B3n_de_Gauss-Jordan

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

¿EN QUÉ CONSISTE EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN?

Consiste en  despejar una  incógnita en una de las ecuaciones, que quedará en función de la otra incógnita (seguiremos teniendo una ecuación). En la otra ecuación que no hemos utilizado, se sustituye la misma incógnita por el valor obtenido en el paso 1.

EJEMPLO 1: 

3X-Y=0
5X-Y=-1

   

                            

°A continuación elegimos una de las incógnitas , nosotros elegiremos "Y" y despejamos la "Y" en la primera ecuación.

                                    3x   -   y   =  0
                                    3x   =   y

°Luego sustituimos la incógnita despejada en la otra ecuación,en lugar de "Y" escribimos 3x en la segunda ecuación.

                                    5x    -     2y      =   1
                                    5x    -    2.(3x) =   -1

°Resolvemos la ecuación de Primer grado.

$$5x-2\cdot \left(3x\right)=-1$$

$$5x-6x=-1$$

$$-x=-1$$

$$x=1$$

°Sustituimos x=1 en la ecuacion y=3x

$$\mathrm{y\; =\; 3xy\; =\; 3.(1)y\; =\; 3}$$

°Y la solucion es :

    x=1

     y=3

  EJEMPLO 2: 

x−y=0x+5y=30

°Despejamos la incógnita $x$ de la primera ecuación:

$$x-y=0$$

$$x=y$$

°Sustituimos 

$$x+5y=30$$

$$y+5y=30$$

$$6y=30$$

°El coeficiente $6$ pasa dividiendo al otro lado:

$$y=\frac{30}{6}=5$$

°Calculamos $x$ sustituyendo $y=5$:

$$x=y$$

$$x=5$$

°Por tanto, la solución del sistema es

$$\begin{array}{ccc}x& =& 5\\ y& =& 5\end{array}$$

EJEMPLO3:

                                                 3X    -    4Y    =     -6

                                                  2X    +   4Y   =   16     

        

         °Despejamos una de las incógnitas en una de las ecuaciones elegimos la incógnita que tenga en coeficiente mas bajo

                °Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:

° Resolvemos la ecuación obtenida:

°Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.

°Y asi tenemos la solucion: 

• https://ebookcentral.proquest.com/lib/upnortesp/reader.action?docID=3201653&query=
• LIBRO VRITUAL : "CALAMEO" https://es.calameo.com/read/0009436372e209582aab4